REFORZAMOS FUNCIONES CUADRÁTICAS

1. ACLARAMOS NUESTRAS DUDAS 

2. FICHA DE APRENDIZAJE

ENTRADAS AL TEATRO Y LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

En una institución educativa se va a realizar una función de teatro en el auditorio donde ingresan 500 asistentes, para ello fijan como precio de la entrada s/. 10,00. Debido a la realización de gastos adicionales, se ven en la necesidad de incrementar el precio de la entrada sabiendo que por cada S/1 de incremento de la misma, hay una reducción del 2% de los asistentes a dicha función.

¿Cuánto es el máximo incremento que se puede hacer de modo tal que se obtenga el mayor ingreso posible?

Responde a las siguientes preguntas:

1.    ¿En qué consiste una función de teatro?

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2.    ¿Cuánto es lo máximo que se puede recaudar?

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3.    ¿Es posible que cuando se incrementa el precio de la entrada, algunas personas pueden desistir de participar?

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4.    ¿Qué preguntan en el problema?

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Aprendemos:

1.    Función cuadrática:

Como hemos visto en la situación original:

El ingreso está dado por:

Donde I: es el ingreso total de dinero

P: precio de la entrada

Q: cantidad de asistentes pagantes

Con las condiciones dadas en el enunciado, dado un incremento en el precio de las entradas en “n” soles la cantidad se reducirá en 2%.

Así tenemos:

Luego, la expresión de I es una función cuadrática de variable n.

E n general una función cuadrática de variable x tendrá la siguiente forma: f(x)=ax²+bx+c

Cuando a=0; tendrá la forma:  (función lineal)

Cuando b=0; tendrá la forma

Cuando c=0: tendrá la forma:

2.    Gráfico de una función cuadrática:

Una vez obtenida la expresión podemos completar la siguiente tabla:

n	Ingreso
0	5000
5	6750
10	8000
15	8750
20	9000
25	8750
30	8000
35	6750
40	5000
45	2750
50	0
55	-3250

Graficando:

En general el gráfico de la función cuadrática de la forma f(x)=ax²+bx+c tendrá la siguiente forma:

Donde:

x₁ y x₂ son las raíces de la ecuación: ax²+bx+c=0

V(h,k): Vértice de la parábola. ;

  

3.    Dominio y Rango de una función cuadrática:

  

Analizamos:

1)    Resolvemos la situación del inicio de esta ficha:

En una institución educativa se va a realizar una función de teatro en el auditorio donde ingresan 500 asistentes, para ello fijan como precio de la entrada s/. 10,00. Debido a la realización de gastos adicionales, se ven en la necesidad de incrementar el precio de la entrada sabiendo que por cada S/1 de incremento de la misma, hay una reducción del 2% de los asistentes a dicha función.

¿Cuánto es el máximo incremento que se puede hacer de modo tal que se obtenga el mayor ingreso posible?

Resolución:

Habíamos ya desarrollado la expresión de la función:

De acá identificamos que a=-10; b=400; c=5000

Obtenemos el vértice: ;

Siendo , la parábola es cóncava hacia abajo por lo que h=9000 es un máximo

Luego, se obtendrá el mayor ingreso cuando n=20; es decir, cuando se incremente en S/. 20 el precio de la entrada.

2)    Un terreno tiene forma rectangular. Uno de los lados mide 300 m más que el otro. Expresa el área de dicho terreno en función de la medida del lado de menor tamaño del terreno.

Resolución:

Graficamos el terreno:

Luego:

3)    Una partícula se desplaza siguiendo la siguiente trayectoria: y=x²+4x-5. Traza el gráfico de la trayectoria de dicha partícula.

Resolución:

Identificamos que a=1; b=4 y c=-5

Luego el vértice será: ;

Luego el vértice es V(-2;-9)

Como a>0; la parábola será cóncava hacia arriba.

Dicha parábola intersecta al eje X en los puntos x₁ y x₂  que se obtienen al resolver la ecuación: x²+4x-5=0

La gráfica será:

Practicamos:

CAÍDA LIBRE

El desplazamiento de un cuerpo verticalmente, se describe mediante la siguiente tabla. Observa:

Tiempo (t)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Altura (H)	0	45	80	105	120	125	120	105	80

Con esta información responde las preguntas 1, 2, 3 y 4

1)    ¿Qué expresión representa la información descrita en la tabla? (3)

a)    H=35t

b)    H=50t-5t²

c)    H=50t+5t²

d)    H=t²+15t

2)    ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el cuerpo en movimiento? (1)

a)    120 m

b)    125 m

c)    130 m

d)    150m

3)    ¿Cómo es la gráfica de la altura vs tiempo del cuerpo en movimiento? (2)

a)    Parábola cóncava hacia abajo interseca al plano cartesiano en el origen.

b)    Parábola cóncava hacia arriba, interseca al plano cartesiano en el origen.

c)    Parábola cóncava hacia arriba, interseca al eje X en el punto (10;0)

d)    Parábola cóncava hacia abajo,   interseca al Eje Y en el punto (10;0)

                                                       

4)    Si la función de la altura (H) tiene la forma . ¿Qué representa el valor de p?(5)

a)    Altura de lanzamiento

b)    Aceleración de la gravedad

c)    Altura máxima alcanzada

d)    Velocidad de lanzamiento

EL TEATRO

Se organiza una función de teatro con la siguiente tarifa:

Nivel	Precio	Capacidad	Reacción por cada sol al alza en el precio de la entrada
Primero	150	600	-1%
Segundo	100	400	-2%
Tercero	80	300	-3%
Cuarto	50	200	-5%
Total		1500

Con esta información responde a las preguntas 5, 6, 7 y 8

5)    ¿Cuál es la función que describe el comportamiento del ingreso del tercer nivel por cada sol de incremento en el precio de entrada (n)?(1)

a)     

b)     

c)     

d)     

6)    La siguiente gráfica del modelo del comportamiento del ingreso en función del incremento de n soles en el precio de entrada. (1)

¿A qué nivel corresponde?

a)    Primer nivel

b)    Segundo nivel

c)    Tercer nivel

d)    Cuarto nivel

7)    ¿Cuál es el incremento que se puede hacer en el precio de las entradas en el nivel 1 de modo tal que se alcance un ingreso máximo? (1)

a)    0

b)    25

c)    30

d)    90

2. ANALIZANDO UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA